Однофакторный дисперсионный анализ в Excel

29. ОДНОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ (ОФА)

При исследовании зависимости одной из наиболее простых является ситуация, когда можно указать только один фактор, влияющий на конечный результат, причем этот фактор имеет только конечное число значений (уравнений). Такие задачи называются задачами однофакторного анализа и могут встречаться на практике.
Например, сравнение по достигнутым результатам нескольких способов действия, направленных на достижение одной и той же цели (учебники, лекарства).
То, что должно оказать влияние на конечный результат, называется фактором или факторами. Конкретную реализацию фактора называют уровнем фактора или способом обработки (конкретный учебник или конкретное лекарство). Значение измеряемого признака, т.е. величину результата, обычно называют откликом.
Для сравнения влияния фактора на отклик необходим исходный статистический материал. Его обычно получают следующим образом: каждый из способов обработки применяют несколько раз (необязательно одинаковое число). Применяем к исследуемым объектам и регистрируем полученные результаты. Итогом таких испытаний являются несколько выборок не обязательно одинакового объема. Наиболее распространенным способом представления исходных данных для факторного анализа является таблица. В зависимости от количества факторов, говорят, что данные представлены в таблице с одним – двумя и т.д. входами.

Результаты измерений (отклик)

х11 (1 строка и 1 столбец)

х21 (2 строка и 1 столбец)

1 класс 1 2 класс 2 к
по 1 учебнику по 2 учебнику

n1 + n2 + … + nк = n (общее количество наблюдений (людей)).
Зависимости от объема выборки нет.

Стратегия анализа.
Одной из главных конечных целей в задачах ОФА является оценка величины влияния конкретного уровня фактора на изучаемый отклик. Иногда эту задачу можно сформулировать в форме сравнения двух или нескольких уровней фактора между собой.
Однако, прежде чем судить о количественном влиянии фактора на отклик, необходимо сначала выяснить, есть ли такое влияние вообще.
На статистическом языке эта задача означает, что все исходные данные принадлежат одному и тому же распределению. Обычно эту гипотезу выбирают в качестве основной нулевой Н0. Для проверки этой гипотезы могут быть использованы различные статистические критерии: как традиционные, которые требуют нормального распределения исходных данных, так и непараметрические, не требующие такого предположения (Excel Стьюдент).
Если нулевая гипотеза об отсутствии влияния фактора на отклик отвергается, то необходимо провести оценку влияния уровней фактора на отклик. На этом этапе важным является вопрос точности и достоверности полученных оценок.
Если же критерий не позволяет отвергнуть Н0 от отсутствия влияния фактора на отклик, то на этом анализ может быть завершен. Но иногда вывод об отсутствии влияния фактора на отклик нас не может устроить, т.к. он противоречит теоретическим предпосылкам или результатам предыдущих исследований. В этой ситуации следует выяснить, нет ли каких-либо еще факторов, влияющих на отклик. Может быть, влияние фактора не удалось обнаружить вследствие того, что это влияние не заметно на фоне различий, вызванных действием неучтенного фактора.
Можно проводить сравнения между собой только двух уровней фактора с помощью методики проверки статистических гипотез (сравнение средних значений), рассмотренных в параграфах 15 – 18. Это сравнение может показать, какие уровни фактора являются наиболее влиятельными.

30. ОДНОФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ (ОДА)

Наиболее часто при проведении ОФА рассматривают и анализируют дисперсию, поэтому совокупность таких методов носит название – ОДА.
Однако ОДА может применяться лишь при следующих предположениях:

1. Исходные данные должны представлять собой случайные выборки.
2. Эти выборки должны быть извлечены из нормально распределенных ГС.
3. Эти ГС должны иметь одинаковые дисперсии.
4. Все выборки исходных данных, т.е. столбцы таблицы, должны быть статистически независимыми.

При проведении ОДА для получения расчетных формул предполагалось, что исходные данные подчиняются линейной аддитивной (сложение) модели следующего вида:
хij = М + i + eij, где M – величина, отражающая некоторый средний уровень отклика. Она является одинаковой для всех данных одной таблицы; j – величина, отражающая влияние j-го уровня факторов. Она является одинаковой для элементов j-го столбца; eij – случайная ошибка модели. Для каждого исходного наблюдения она различна; xij – исходное наблюдение, соответствующее значению отклика для i-го человека при j-ом уровне факторов.
В результате такой модели исходная задача выяснения наличия или отсутствия влияния фактора на отклик сводится к проверке следующих статистических гипотез:
Н0: 1 = 2 = … = k о том, что нет влияния фактора на отклик и
Н1 о том, что хотя бы одно из j отлично от других, т.е. есть влияние фактора на отклик.
Для проверки этих статистических гипотез используется F-критерий Фишера, который является достаточно громоздким, поэтому рассмотрим компьютерный вариант проведения ОДА.
Для его проведения используется раздел «ОДА» пакета анализа данных, имеющегося в Excel. Для этого необходимо сначала ввести исходные данные на рабочий лист в виде таблицы. После этого вызывается раздел ОДА и указываются необходимые параметры.
В результате работы данных раздела полученные результаты ОДА представляются в виде следующих двух таблиц:

Вычисление дисперсии

Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания. Таким образом, он выражает разброс чисел относительно среднего значения. Вычисление дисперсии может проводиться как по генеральной совокупности, так и по выборочной.

Способ 1: расчет по генеральной совокупности

Для расчета данного показателя в Excel по генеральной совокупности применяется функция ДИСП.Г. Синтаксис этого выражения имеет следующий вид:

Всего может быть применено от 1 до 255 аргументов. В качестве аргументов могут выступать, как числовые значения, так и ссылки на ячейки, в которых они содержатся.

Посмотрим, как вычислить это значение для диапазона с числовыми данными.

1. Производим выделение ячейки на листе, в которую будут выводиться итоги вычисления дисперсии. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию», размещенную слева от строки формул.

Запускается Мастер функций. В категории «Статистические» или «Полный алфавитный перечень» выполняем поиск аргумента с наименованием «ДИСП.Г». После того, как нашли, выделяем его и щелкаем по кнопке «OK».

Выполняется запуск окна аргументов функции ДИСП.Г. Устанавливаем курсор в поле «Число1». Выделяем на листе диапазон ячеек, в котором содержится числовой ряд. Если таких диапазонов несколько, то можно также использовать для занесения их координат в окно аргументов поля «Число2», «Число3» и т.д. После того, как все данные внесены, жмем на кнопку «OK».

Способ 2: расчет по выборке

В отличие от вычисления значения по генеральной совокупности, в расчете по выборке в знаменателе указывается не общее количество чисел, а на одно меньше. Это делается в целях коррекции погрешности. Эксель учитывает данный нюанс в специальной функции, которая предназначена для данного вида вычисления – ДИСП.В. Её синтаксис представлен следующей формулой:

Количество аргументов, как и в предыдущей функции, тоже может колебаться от 1 до 255.

Выделяем ячейку и таким же способом, как и в предыдущий раз, запускаем Мастер функций.

В категории «Полный алфавитный перечень» или «Статистические» ищем наименование «ДИСП.В». После того, как формула найдена, выделяем её и делаем клик по кнопке «OK».

Производится запуск окна аргументов функции. Далее поступаем полностью аналогичным образом, как и при использовании предыдущего оператора: устанавливаем курсор в поле аргумента «Число1» и выделяем область, содержащую числовой ряд, на листе. Затем щелкаем по кнопке «OK».

Как видим, программа Эксель способна в значительной мере облегчить расчет дисперсии. Эта статистическая величина может быть рассчитана приложением, как по генеральной совокупности, так и по выборке. При этом все действия пользователя фактически сводятся только к указанию диапазона обрабатываемых чисел, а основную работу Excel делает сам. Безусловно, это сэкономит значительное количество времени пользователей.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12312 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

БиоСтатистика — 08. Тема 5. Краткое введение в дисперсионный анализ

Тема 5. Краткое введение в дисперсионный анализ

Тема 5. Краткое введение в дисперсионный анализ

5.1. Что такое дисперсионный анализ?

Дисперсионный анализ разработан в 20-х годах XX века английским математиком и генетиком Рональдом Фишером. По данным опроса среди ученых, где выяснялось, кто сильнее всего повлиял на биологию XX века, первенство получил именно сэр Фишер (за свои заслуги он был награжден рыцарским званием — одним из высших отличий в Великобритании); в этом отношении Фишер сравним с Чарльзом Дарвином, оказавшим наибольшее влияние на биологию XIX века.

Дисперсионный анализ (Analis of variance) является сейчас отдельной отраслью статистики. Он основан на открытом Фишером факте, что меру изменчивости изучаемой величины можно разложить на части, соответствующие влияющим на эту величину факторам и случайным отклонениям.

Чтобы понять суть дисперсионного анализа, мы выполним однотипные расчеты дважды: «вручную» (с калькулятором) и с помощью программы Statistica. Для упрощения нашей задачи мы будем работать не с результатами действительного описания разнообразия зеленых лягушек, а с вымышленным примером, который касается сравнения женщин и мужчин у людей. Рассмотрим разнообразие роста 12 взрослых человек: 7 женщин и 5 мужчин.

Таблица 5.1.1. Пример для однофакторного дисперсионного анализа: данные о поле и росте 12 людей

Sex

Growth

Sex

Growth

Sex

Growth

1

5

9

2

6

10

3

7

11

4

8

12

Проведем однофакторный дисперсионный анализ: сравним, статистически значимо или нет отличаются ли мужчины и женщины в охарактеризованной группе по росту.

5.2. Тест на нормальность распределения

Дальнейшие рассуждения основываются на том, что распределение в рассматриваемой выборке нормальное или близкое к нормальному. Если распределение далеко от нормального, дисперсия (варианса) не является адекватной мерой его его изменчивости. Впрочем, дисперсионный анализ относительно устойчив к отклонениям распределения от нормальности.

Тест этих данных на нормальность можно провести двумя разными способами. Первый: Statistics / Basic Statistics/Tables / Descriptive statistics / Вкладка Normality. Во вкладке Normality можно выбрать используемые тесты нормальности распределения. При нажатии на кнопку Frequency tables появится частотная таблица, а кнопки Histograms — гистограмма. На таблице и гистограмме будут приведены результаты различных тестов.

Второй способ связан с использованием соответствующих возможнойтсей при построении гистограмм. В диалоге построения гистограмм (Grafs / Histograms. ) следует выбрать вкладку Advanced. В ее нижней части есть блок Statistics. Отметим на ней Shapiro-Wilk t est и Kolmogorov-Smirnov test, как это показано на рисунке.

Рис. 5.2.1. Статистические тесты на нормальность распределения в диалоге построения гистограмм

Как видно по гистограмме, распределение роста в нашей выборке отличается от нормального (в середине — «провал»).

Рис. 5.2.2. Гистограмма, построенная с параметрами, указанными на предыдущем рисунке

Третья строка в заголовке графика указывает параметры нормального распределения, к которому оказалось ближе всего наблюдаемое распределение. Генеральное среднее составляет 173, генеральное стандартное отклонение — 10,4. Внизу во врезке на графике указаны результаты тестов на нормальность. D — это критерий Колмогорова-Смирнова, а SW-W — Шапиро-Вилка. Как видно, для всех использованных тестов отличия распределения по росту от нормального распределения оказались статистически незначимыми (p во всех случаях больше, чем 0,05).

Итак, формально говоря, тесты на соответствие распределения нормальному не «запретили» нам использовать параметрический метод, основанный на предположении о нормальном распределении. Как уже сказано, дисперсионный анализ относительно устойчив к отклонениям от нормальности, поэтому мы им все-таки воспользуемся.

5.3. Однофакторный дисперсионный анализ: вычисления «вручную»

Для характеристики изменчивости роста людей в приведенном примере вычислим сумму квадратов отклонений (в английском обозначается как SS, Sum of Squares или ) отдельных значений от среднего: . Среднее значение для роста в приведенном примере составляет 173 сантиметра. Исходя из этого,

SS = (186–173) 2 + (169–173) 2 + (166–173) 2 + (188–173) 2 + (172–173) 2 + (179–173) 2 + (165–173) 2 + (174–173) 2 + (163–173) 2 + (162–173) 2 + (162–173) 2 + (190–173) 2 ;

SS = 132 + 42 + 72 + 152 + 12 + 62 + 82 + 12 + 102 + 112 + 112 + 172;

SS = 169 + 16 + 49 + 225 + 1 + 36 + 64 + 1 + 100 + 121 + 121 + 289 = 1192.

Полученная величина (1192) — мера изменчивости всей совокупности данных. Однако они состоят из двух групп, для каждой из которых можно выделить свою среднюю. В приведенных данных средний рост женщин — 168 см, а мужчин — 180 см.

Вычислим сумму квадратов отклонений для женщин:

SS_f = (169–168) 2 + (166–168) 2 + (172–168) 2 + (179–168) 2 + (163–168) 2 + (162–168) 2 ;

SS_f = 12 + 22 + 42 + 112 + 32 + 52 + 62 = 1 + 4 + 16 + 121 + 9 + 25 + 36 = 212.

Также вычислим сумму квадратов отклонений для мужчин:

SS_m = (186–180) 2 + (188–180) 2 + (174–180) 2 + (162–180) 2 + (190–180) 2 ;

SS_m = 62 + 82 + 62 + 182 + 102 = 36 + 64 + 36 + 324 + 100 = 560.

От чего зависит исследуемая величина в соответствии с логикой дисперсионного анализа?

Две вычисленные величины, SS_f и SS_m, характеризуют внутригрупповую вариансу, которую в дисперсионном анализе принято называть «ошибкой». Происхождение этого названия связано со следующей логикой.

От чего зависит рост человека в рассматриваемом примере? Прежде всего, от среднего роста людей вообще, вне зависимости от их пола. Во вторую очередь — от пола. Если люди одного пола (мужского) выше, чем другого (женского), это можно представить в виде сложения с «общечеловеческой» средней какой-то величины, эффекта пола. Наконец, люди одного пола отличаются по росту в силу индивидуальных отличий. В рамках модели, описывающей рост как сумму общечеловеческой средней и поправки на пол, индивидуальные отличия необъяснимы, и их можно рассматривать как «ошибку».

Итак, в соответствии с логикой дисперсионного анализа, исследуемая величина определяется следующим образом: , где x_ij — i-тое значение изучаемой величины при j-том значении изучаемого фактора; — генеральное среднее; F_j — влияние j-того значения изучаемого фактора; — «ошибка», вклад индивидуальности объекта, к которому относится величина x_ij .

Межгрупповая сумма квадратов

Итак, SS_ошибки = SS_f + SS_m = 212 + 560 = 772. Этой величиной мы описали внутригрупповую изменчивость (при выделении групп по полу). Но есть и вторая часть изменчивости — межгрупповая, которую мы назовем SS_{эффекта} (поскольку речь идет об эффекте разделения совокупности рассматриваемых объектов на женщин и мужчин).

Среднее каждой группы отличается от общей средней. Вычисляя вклад этого отличия в общую меру изменчивости, мы должны умножить отличие групповой и общей средней на число объектов в каждой группе.

SS_{эффекта} = = 7×(168–173) 2 + 5×(180–173) 2 = 7×52 + 5×72 = 7×25 + 5×49 = 175 + 245 = 420.

Здесь проявился открытый Фишером принцип постоянства суммы квадратов: SS = SS_{эффекта} + SS_ошибки, т.е. для данного примера, 1192 = 440 + 722.

Сравнивая в нашем примере межгрупповую и внутригрупповую суммы квадратов, мы можем увидеть, что первая связана с варьированием двух групп, а вторая — 12 величин в 2 группах. Количество степеней свободы (df) для какого-то параметра может быть определено как разность количества объектов в группе и количества зависимостей (уравнений), которое связывает эти величины.

В нашем примере df_{эффекта} = 2–1 = 1 , а df_ошибки = 12–2 = 10 .

Мы можем разделить суммы квадратов на число их степеней свободы, получив средние квадраты (MS, Means of Squares). Сделав это, мы можем установить, что MS — ни что иное, как вариансы («дисперсии», результат деления суммы квадратов на число степеней свободы). После этого открытия мы можем понять структуру таблицы дисперсионного анализа. Для нашего примера она будет иметь следующий вид.

Для Excel 2010, 2013

Рассмотрим анализ данных в Excel: как включить и чем будет отличаться процедура активации для других версий. В большинстве вариантов программы процедура выполняется одинаково. Поэтому последовательность действий, изложенная в разделе, подходит для большинства версий, в том числе для выпусков 2013 и 2016 годов.

Включение блока инструментов

Рассматриваемый пакет относится к категории надстроек, то есть сложных аналитических дополнений. Соответственно, для включения пакета переходим в меню надстроек. Эта процедура выполняется следующим образом:

1. зайдите во вкладку «Файл», расположенную в верхней части ленты интерфейса;
2. с левой стороны открывающегося меню найдите раздел «Параметры Эксель» и кликните по нему;
3. просмотрите левую часть окошка, откройте категорию надстроек (вторая снизу в списке), выберите соответствующий пункт;
4. в выпавшем диалоговом меню найдите пункт «Управление», кликните по нему мышью;
5. клик вызовет на экран диалоговое окно, выберите раздел надстроек, если выставлено значение, отличное от «Надстройки Excel», поменяйте его на обозначенное;
6. нажмите на экранную кнопку «Перейти» в разделе надстроек. В правой части выпадет список надстроек, которые устанавливает программа.

Поиск пакета в надстройках Excel

Активация

Рассмотрим, как активировать аналитические функции, предоставляемые надстройкой пакета:

1. В перечне надстроек, выпавшем после последовательного выполнения предыдущих операций, пользователю надлежит поставить знак птички напротив раздела «Пакет анализа».
2. Выбрав активацию пакета, необходимо нажать клавишу «Ок», расположенную в верхней правой части диалогового окна.
3. После нажатия кнопки пакет появляется на ленте функций. Для получения доступа к нему в интерфейсе программы выбирается вкладка «Данные». В правой части меню «Раздел анализа». Там пользователь найдет иконку опции «Анализ данных».

Выбор нужной надстройки

Запуск функций группы «Анализ данных»

Аналитический пакет оперирует большим набором инструментов, оптимизирующих решение статистических задач. Некоторые из числа:

• операции с выборками;
• построение гистограммы – разновидности столбчатой диаграммы, демонстрирующей разброс разных значений некоторого параметра в виде столбцов, площади которых соотносятся друг с другом так же, как удельные веса разных групп в рассмотренной выборе;
• генерация случайных чисел;
• порядковое и процентное ранжирование;
• вариации регрессионного, дисперсионного, корреляционного, ковариационного анализа;
• анализ по алгоритму Фурье;
• экспоненциальное сглаживание – метод математических преобразований, преследующих цель выявления некоторого тренда или тенденции во временном ряду. Метод применяется для построения прогнозов.

Расположение функции «Анализ данных» на вкладке «Данные»

Чтобы применить ту или иную опцию, действуют по нижеприведенному алгоритму:

1. Нажать на кнопку анализа на ленте.
2. Кликнуть по названию необходимой пользователю функции.
3. Нажать клавишу «Ок», находящуюся рядом с правым верхним углом окошка.
4. В диалоговом окне указать массивы данных, используемые для решения текущей задачи.

Как включить анализ данных в Excel 2010

Функции, входящие в пакет, рассчитаны на использование чисел только с одного листа Эксель. Если нужные статистические значения помещены на нескольких листах, потребуется предварительно создать сводную таблицу, скопировав туда требуемые параметры.

Прочие инструменты

Помимо дополнительных надстроек, Excel имеет в своем арсенале несколько функций, которые также можно отнести к инструментам анализа данных. Таковыми являются сортировка и фильтр, о которых уже говорилось в предыдущих статьях, проверка данных, функция консолидации, анализ «что-если», а также удаление дубликатов. Все эти инструменты можно найти во вкладке Данные

Как видите, Microsoft Office Excel имеет большое количество функций для анализа и отбора информации. При помощи надстроек можно расширить функционал программы более серьезными инструментами, которые позволяют решать специфические и сложные задачи. Все подпрограммы содержат в себе элементы статистического анализа. Такие дополнительные функции отлично подойдут для банковских организаций, финансовых компаний и статистических органов.

Жми «Нравится» и получай только лучшие посты в Facebook ↓

Оценка статьи:

Загрузка...