Garant-blok.ru

Гарант Блок
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Средние величины арифметическая гармоническая Мода Медиана

Среднее гармоническое

Сре́днее гармони́ческое — один из способов, которым можно понимать «среднюю» величину некоторого набора чисел. Его можно определить следующим образом: пусть даны положительные числа x 1 , … , x n ,ldots ,x_> , тогда их средним гармоническим будет такое число H , что

n H = 1 x 1 + … + 1 x n >=>>+ldots +>>> .

Можно получить явную формулу для среднего гармонического:

H ( x 1 , … , x n ) = n 1 x 1 + 1 x 2 + ⋯ + 1 x n = 1 1 n ∑ i = 1 n 1 x i ,ldots ,x_)=<>>+>>+cdots +>>>>=<>sum limits _^>>>>> ,

т. е. среднее гармоническое есть обратная величина к среднему от обратных к числам x 1 , … , x n ,ldots ,x_> .

Мода и медиана

Медиана — это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Для нахождения медианы, нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.

Посмотреть решение задачи на нахождение моды и медианы Вы можете здесь

В ранжированных рядах несгруппированные данные для нахождения медианы сводятся к поиску порядкового номера медианы. Медиана может быть вычислена по следующей формуле:

где Хm — нижняя граница медианного интервала;
im — медианный интервал;
Sme— сумма наблюдений, которая была накоплена до начала медианного интервала;
fme — число наблюдений в медианном интервале.

Свойства медианы

  1. Медиана не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
  2. Аналитические операции с медианой весьма ограничены, поэтому при объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.
  3. Медиана обладает свойством минимальности. Его суть заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений х, от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением X от любой другой величины

Графическое определение медианы

Для определения медианы графическим методом используют накопленные частоты, по которым строится кумулятивная кривая. Вершины ординат, соответствующих накопленным частотам, соединяют отрезками прямой. Разделив поп олам последнюю ординату, которая соответствует общей сумме частот и проведя к ней перпендикуляр пересечения с кумулятивной кривой, находят ординату искомого значения медианы.

Определение моды в статистике

Мода — значение признака, имеющее наибольшую частоту в статистическом ряду распределения.

Определение моды производится разными способами, и это зависит от того, представлен ли варьирующий признак в виде дискретного или интервального ряда.

Нахождение моды и медианы в контрольных по статистике происходит путем обычного просматривания столбца частот. В этом столбце находят наибольшее число, характеризующее наибольшую частоту. Ей соответствует определенное значение признака, которое и является модой. В интервальном вариационном ряду модой приблизительно считают центральный вариант интервала с наибольшей частотой. В таком ряду распределения мода вычисляется по формуле:

где ХМо — нижняя граница модального интервала;
imo — модальный интервал;
fм0, fм0-1,, fм0+1 — частоты в модальном, предыдущем и следующем за модальным интервалах.

Модальный интервал определяется по наибольшей частоте.

Мода широко используется в статистической практике при анализе покупательного спроса, регистрации цен и т. д.

Соотношения между средней арифметической, медианой и модой

Для одномодального симметричного ряда распределения средняя арифметическая, медиана и мода совпадают. Для асимметричных распределений они не совпадают.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:

Читать еще:  Должностная инструкция табельщику образец РБ 2021 Белформа

Медиана

Медиана — середина — уровень показателя, который делит набор данных на 2 равные половины (50/50). Она не присваивает наблюдениям весовые коэффициенты исходя из того, на сколько они отдалены от средней точки, а лишь оценивает их в зависимости от расположения.

Развивая мысль можно также делить медиану на четверти — квартили:

  • 0,25 квантиль — первый (нижний) квартиль;
  • 0,5 квантиль — медиана — второй квартиль;
  • 0,75 квантиль — третий (верхний) квартиль.

Еще один вариант разделить на децили, каждый из которых включает в себя 10% наблюдений. Например, если ваш расход топлива бензинового двигателя автомобиля в верхнем дециле общего распределения расходов топлива всех бензиновых двигателей, то это означает, ваш двигатель сжигает топлива больше, чем 90% остальных двигателей.

Разбив распределение на сотые доли получим процентили — 1% распределения: первый процентиль представляет нижний 1% данного распределения, а 99-й — его верхний 1%.

Рассмотрим набор нормально распределенных случайных чисел.

В данном примере видим идеальную ситуацию когда медиана, среднее арифметическое и мода совпадают. Но, если рассмотреть ассиметричное распределение, которое может возникать при проведении технических замеров, например, скорости, может сложиться такая ситуация

Как видим из графика у нас присутствуют аномальные значения («отщепенцы»): 23, 28, 30, влияющие на среднее арифметическое, но никак не затрагивающие медиану.

Медиана — альтернатива среднему арифметическому, устойчивая к аномальным отклонениям («отщепенцам»).

Средние величины в статистике

6.2. Средняя гармоническая

Средняя гармоническая величина является модифицированной формой средней арифметической. Она применяется в тех случаях, когда неизвестны значения частот у вариант ряда, зато имеются для каждого xi произведения этих вариант на соответствующие им частоты, т.д. . Величиной Fi может быть, например, товарооборот по видам товаров при расчете их средней цены; фонд заработной платы по отдельным категориям работников при расчете средней заработной платы и т.д. Ситуаций, когда нам известны не частоты, а произведения частот на соответствующие им варианты при расчете средней величины, более чем достаточно.

Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид:

где Fi — произведения вариант на соответствующие им частоты;

Если мы для каждой варианты рассчитаем частоту как то формула средней гармонической взвешенной превратится в формулу для расчета средней арифметической взвешенной:

Пример 6.5. Вернемся к примеру 6.2, где рассчитывалась средняя заработная плата 20 работников малого предприятия. Предположим, что изначально были известны данные об уровне заработной платы для каждой группы работающих и начисленный им фонд заработной платы. Тогда для расчета средней заработной платы необходимо определить численность работающих в каждой группе. Для этого разделим фонд заработной платы каждой группы работающих на их уровень заработной платы (см. графу 3 в таблице). Тогда, разделив общий фонд заработной платы на общую численность работающих, получим их среднюю заработную плату.

Таблица 6.5. Расчет средней гармонической

Исходные данныеРасчетный показатель
заработная плата, руб.фонд заработной платы, руб.численность работающих, чел.
123
xiFiFi / xi
5 95035 7606
6 79054 3208
7 00042 0006
Итого132 08020

Как видим, и в первом, и во втором случае расчет производился по одной и той же логической формуле

Читать еще:  Кто наследует по праву представления?

но использовались разные формулы для расчета, поскольку отличались исходные данные.

Если произведения вариант на соответствующие им частоты равны между собой, т.д. F1 = F2 = F3 = . = Fn, то можно применять среднюю гармоническую простую, рассчитываемую по следующей формуле:

где п — число единиц в совокупности.

Пример 6.6. Предприятием были выделены одинаковые денежные суммы на приобретение акций двух видов, при этом цена акции вида «А» составляла 1000 руб., «В» — 1800 руб. Рассчитаем среднюю цену приобретения акций:

Поясним расчет. Мы знаем, что логическая формула для расчета средней цены приобретения одной акции такова:

Однако неизвестно, сколько было куплено акций каждого вида. Поэтому средняя арифметическая здесь не может быть использована.

Кроме того, мы знаем, что на покупку каждого вида акций была выделена одна и та же сумма. Обозначим ее через С. Тогда общая сумма, выделенная на покупку двух видов акций, будет равна 2С, а количество купленных акций каждого вида можно рассчитать следующим образом:

  • для вида «А»: C/1 000;
  • для вида «В»: С/1 800

Если подставить эти значения в логическую формулу, то неизвестная величина С (сумма, выделенная на приобретение каждого вида акций) сократится, и расчет действительно будет проведен по формуле средней гармонической простой:

6.3. Средняя геометрическая

Для расчета среднего коэффициента или темпа роста статистического показателя используется формула средней геометрической.

Для несгруппированных данных (при отсутствии частот) или для сгруппированных данных с равными частотами применяется средняя геометрическая простая

Для сгруппированных данных с неравными частотами применяется средняя геометрическая взвешенная

Примеры расчета средней геометрической будут рассмотрены в гл. 9.

6.4. Средняя квадратическая и другие степенные средние

Если подставить в формулу средней степенной m = 2, то получим среднюю квадратическую:

взвешенную (для сгруппированных данных):

простую (для несгруппированных данных):

Средняя квадратическая величина широко применяется при оценке вариации признака, при изучении взаимосвязи явлений. Кроме того, прикладное значение имеет расчет степенных средних и более высоких порядков, например при изучении характеристик распределения случайных величин. Формулы для их вычисления получаются при подстановке в качестве m соответствующего показателя степени.

Правило мажорантности степенных средних состоит в том, что при расчете по одним и тем же данным между числовыми значениями средних, исчисленных по разным формулам, всегда сохраняется следующее неравенство:

Медиану в Excel вычисляют с помощью функции со соответствующим названием МЕДИАНА. Если все оценки будут отсортированы по возрастанию, функция МЕДИАНА будет возвращать значение, которое находится точно по середине списка данных. Так как общее количество оценок представляет собой парное число, данный список не содержит конкретного числового значения. В такие случаи функция возвращает среднее арифметическое число двух значений находящийся наиболее близко к центру. Как видно на рисунке после сортировки списка по убыванию наиболее близко к центру находятся сразу два числа 90 и 91:

Соответственно функция МЕДИАНА возвращает в итоговом результате своих вычислений число 90,5. Что из этого следует?

Большая разница между средним арифметическим числом и медианой означает, что показатели оценок весьма неравномерные. Например, в данному случае большая разница возникает между наибольшими и наименьшими оценками. Если же среди статистических данных находится одно аномально большое или малое значение, оно может существенно влиять на показатель среднего арифметического числа, но не на медиану!

  • Среднее гармоническое взвешенное
  1. Роу С.Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 65.
Читать еще:  Должностная инструкция главного механика строительной организации

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Среднее арифметическое
  • Среднее квадратическое отклонение

Полезное

Смотреть что такое «Среднее гармоническое» в других словарях:

СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ — англ. mean, harmonic; нем. Mittel, harmonisches. Измерение центральной тенденции ряда мат. величин, исчисляемое произведением n числа величин и извлечением корня n степени из этого произведения. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 … Энциклопедия социологии

среднее гармоническое — harmoninis vidurkis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Apibrėžtį žr. priede. priedas( ai) Grafinis formatas atitikmenys: angl. harmonic average; harmonic mean vok. harmonisches Mittel, n rus. среднее гармоническое, n… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

среднее гармоническое — harmoninis vidurkis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. harmonic average; harmonic mean vok. harmonisches Mittel, n rus. среднее гармоническое, n pranc. moyenne harmonique, f … Fizikos terminų žodynas

СРЕДНЕЕ, ГАРМОНИЧЕСКОЕ — Измерение центральной тенденции набора значений, представленное обратной величиной среднего арифметического обратных величин набора значений. Имеет ограниченное использование, преимущественно встречается при определении среднестатистической… … Толковый словарь по психологии

СРЕДНЕЕ ГАРМОНИЧЕСКОЕ — англ. mean, harmonic; нем. Mittel, harmonisches. Измерение центральной тенденции ряда мат. величин, исчисляемое произведением n числа величин и извлечением корня n степени из этого произведения … Толковый словарь по социологии

Среднее гармоническое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее гармоническое взвешенное равно среднему гармоническому. Существуют также взвешенные версии для других средних величин.… … Википедия

Среднее Колмогорова — или среднее по Колмогорову для действительных чисел это величины вида где непрерывная строго монотонная функция, а функция, обратная к . При этом выбор … Википедия

Среднее геометрическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому. См. также Среднее геометрическое … Википедия

Среднее арифметическое взвешенное — набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как Часто подразумевают, что сумма весов равна 1, тогда формула выглядит следующим образом: В том случае, если все веса равны между собой, среднее арифметическое взвешенное будет равно … Википедия

Среднее взвешенное — Среднее взвешенное общее название группы разновидностей среднего значения либо короткое название для любого из перечисленных: Среднее арифметическое взвешенное Среднее геометрическое взвешенное Среднее гармоническое взвешенное … Википедия

Вариация в пределах субъектов и между субъектами

Если провести повторные измерения непрерывной переменной у исследуемого объекта, то можно увидеть ее изме­нения (внутрисубъектные изменения). Это можно объяснить тем, что объект не всегда может дать точные и те же самые ответы, и/или ошибкой, погрешностью измерения. Однако при измерениях у одного объекта вариация обычно меньше, чем вариация единичного измерения в группе (межсубъектные изменения).

Например, вместимость легкого 17-летнего мальчика составляет от 3,60 до 3,87 л, когда измерения повторяются не менее 10 раз; если провести однократное измерение у 10 мальчиков того же возраста, то объем будет между 2,98 и 4,33 л. Эти концепции важны в плане исследования.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector